toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

10. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei für ein $R \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, R > 0$ die Funktion $f:\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert < R \} \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ holomorph. Sei $\gamma_r, 0 \leq r < R$ die Kurve $t\in [0,1] \mapsto f(r e^{2\pi i t}) \in {\fam\msbfam\tenmsb C}$. Zeige für $0 \leq r < R$,

$${\rm Laenge}(\gamma_r) \geq 2\pi r \vert f'(0)\vert.$$

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Für $0<r < R$ und $w \in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ sei $n_r(w):=\char93 \{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert \leq r, f(z)=w \}$. Zeige für $0 \leq r < R$,

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} n_r(x+iy) dx dy \geq \pi r^2 \vert f'(0)\vert^2.$$

Hinweis: Interpretiere das Mehrfachintegral als Flächeninhalt einer Fläche in Schichten. Genauer, zeige

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} n_r(x+iy) dx dy= \int_{u^2+v^2 \leq r^2}\vert f'(u+iv)\vert^2 du dv,$$

und schliesse mit

$$\int_{u^2+v^2 \leq r^2}\vert f'(u+iv)\vert^2 du dv \geq \pi ... ...^2+v^2 \leq r^2\}} f'(u+iv)^2\vert=\pi r^2 \vert f'(0)\vert^2.$$

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Sei $0<r < R$. Zeige, dass eine holomorphe Funktion $f:\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert < R \} \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $\vert f\vert \leq r$ und $\vert f'(0)\vert \geq 1$ nicht injektiv ist.

Aufgabe 4. Zeichne $L:=\{ z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid (\Re z)^4 - (\Re z)^2 + (\Im z)^2=0 \}$. Zeige, dass keine holomorphe Funktion $f:\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert < 2 \} \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ existiert, derart dass die parametrizierte Kurve $t \in [0,1] \mapsto f(e^{2 \pi i t})\in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ die Kurve $L$ einmal durchläuft.

Aufgabe 5. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ holomorph und injektiv. Zeige, dass $z\in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mapsto f'(z)=(Df)_z(1)\in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ konstant ist. Es gilt $f(0)\not=0$ und $f(z)=f(0)+f'(0)z, z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}$.

Aufgabe 6. Sei $U$ eine offene Teilmenge im Quaternionenraum $Q:=\{a+xi+yj+zk\}_{(a,x,y,z) \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^4}$. $Q$ ist ein Schiefkörper. Sei die Abbildung $f:U \to Q$ differenzierbar mit einem Differential, dass von Links $Q$-linear ist. (Hat zum Beispiel $f(a+xi+yj+zk):=i(a+xi+yj+zk)=-x+ai-zj+yk$ oder $f(a+xi+yj+zk):=(a+xi+yj+zk)^2$ diese Eigenschaften?) Zeige, dass $p \in U \mapsto (Df)_p(1)\in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ konstant ist.