toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

11. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $\Sigma:=\{ J \in {\rm GL}(2,{\fam\msbfam\tenmsb R}) \mid {\rm det}(J) > 0 , J \circ J= -{\rm Id} \}$. Zeige, dass $\Sigma$ homöomorph zur oberen Halbebene ist.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Seien $J_1, J_2 \in \Sigma$. Konstruiere eine differenzierbare Bijektion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ derart, dass für $p,h \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ gilt:

$$(Df)_p(J_1(h))=J_2(Df)_p(h).$$

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ eine differenzierbare Abbildung so, dass $(Df)_p(J_1(h))=J_2(Df)_p(h)$ für $p,h \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ gilt. Zeige, dass $g:=f - f(0)$ linear von geradem Rang ist.

Aufgabe 4. Konstruiere stetige Abbildungen $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit folgenden Eigenschaften: $f$ sei auf ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \setminus ({\fam\msbfam\tenmsb Z}\times {\fam\msbfam\tenmsb R}\cup {\fam\msbfam\tenmsb R}\times {\fam\msbfam\tenmsb Z})$ differenzierbar, die Differentiale $(Df)_p$ haben jeweils Rang $2$, und die Zuordnung $p \mapsto (Df)_p$ sei auf ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \setminus ({\fam\msbfam\tenmsb Z}\times {\fam\msbfam\tenmsb R}\cup {\fam\msbfam\tenmsb R}\times {\fam\msbfam\tenmsb Z})$ lokal konstant. Ausserdem seien die Differentiale $(Df)_p$ für $p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \setminus ({\fam\msbfam\tenmsb Z}\times {\fam\msbfam\tenmsb R}\cup {\fam\msbfam\tenmsb R}\times {\fam\msbfam\tenmsb Z})$ ähnlich (d.h. $(Df)_p$ und $(Df)_q$ seien via einer Ähnlichkeit von ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ konjugiert).

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass eine Abbildung $f$ wie in der vorigen Aufgabe durch das Bild $f([0,1] \times [0,1])$ bereits festgelegt ist.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige, dass ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \setminus f({\fam\msbfam\tenmsb R}^2)$ höchstens $1$ Element hat.