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toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02



Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I
2. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Seien die offene Teilmengen $U_{\pm}:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid x(p)^4\pm 2x(p)^2\pm 2y(p)^2+y(p)^4 < 1\}$ in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ horizontal geblättert. Das heisst, die Blätter sind die Zusammenhangskomponenten der Durchschnitte von $U_{\pm}$ mit den Niveaus der Funktion $y$. Zeige, dass kein blätterungserhaltender Homöomorphismus von $U_-$ nach $U_+$ existiert.

Aufgabe 2. Seien die offenen Teilmengen $D:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid x(p)^2+y(p)^2 <1\}$, $R:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid \vert x(p)\vert+\vert y(p)\vert <1\}$ und $Q:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid \vert x(p)\vert<1 ,\vert y(p)\vert <1\}$ horizontal geblättert. Zeige, dass paarweise die geblätterten Mengen $D, R, Q$ unter blätterungserhaltenden Diffeomorphismen zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe 3. Gibt es einen blätterungserhaltenden Homöomorphismus $f:Q \to R$, der gleichmässig stetig ist? Gibt es einen blätterungserhaltenden Homöomorphismus $f:R \to Q$, der gleichmässig stetig ist?

Aufgabe 4. Sei $D_a:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid a*x(p)^2+y(p)^2/a <1\}, a \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, a > 0$. Sei $f:D_a \to D_1$ ein Homöomorphismus, so dass $f$ jeden Durchschnitt von $D_a$ mit einer Gerade in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ auf den Durchschnitt von $D_1$ mit einer Gerade in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ abbildet. Ist $f$ notgedrungen die Einschränkung eines linearen Automorphismus von $R^2$?

Aufgabe 5. Bezeichne $T$ den Torus $T:=S^1 \times S^1$. Eine differenzierbare Kurve $\gamma:[0,1] \to T$ heisst transversal zu einer Blätterung $\beta$ auf $T$, wenn $\dot{\gamma}(t)$ nicht tangent am Blatt von $\beta$ durch $\gamma(t), t \in [0,1],$ ist. Konstruiere eine Blätterung $\beta$ auf $T$ derart, dass es zwei Punkte $p,q \in T$ gibt, die nicht mit einer Kurve transversal zu $\beta$ verbunden sind.





WWW Administrator 2001-11-12