toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

3. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ $10$-mal differenzierbar. Für jedes $x \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ existiere ein $k \in \{1,2, \cdots ,10 \}$ so dass die $k$-te Ableitung von $f$ in $x$ nicht Null ist. Zeige, dass $f$ in $[0,1]$ nur endlich viele Nullstellen hat.

Aufgabe 2. Seien $f,g:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ $2$-mal stetig differenzierbare bogenlängentreu parametrisierte Kurven. Für $t\in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ mit $\vert t\vert > 100$ gilt $f(t) \in {\fam\msbfam\tenmsb R}\times \{0\}$ und $g(t) \in \{0\} \times {\fam\msbfam\tenmsb R}$. Für $\vert t\vert < 100$ gilt $0 <\vert\vert{d^2 \over {dt^2}}f(t)\vert\vert < \vert\vert{d^2 \over {dt^2}}g(t)\vert\vert$. Zeige, dass die Kurven $f({\fam\msbfam\tenmsb R})$ und $g({\fam\msbfam\tenmsb R})$ sich nur endlich oft schneiden.

Aufgabe 3. Sei $C_r:=\{ p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid x(p)^2+y(p)^2=r^2\}$ und sei $G_s:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid x(p)^2+y(p)^2 < 1, \exp({1 \over {1-x(p)^2+y(p)^2)}})=z(p)+s\}$. Zeige, dass die Zerlegung ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3=\bigcup_{r \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, r \geq 1} C_r \cup \bigcup_{s\in {\fam\msbfam\tenmsb R}} G_s$ eine Blätterung von ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ ist. Hinweis: Betrachte auf $\{p\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid x(p)^2+y(p)^2 \leq 1 \}$ die $1$-Differentialform $\omega:=(1-r^2)^2\exp({-1 \over {1-r^2}})df$ wobei $f(p):=\exp({1 \over {1-r(p)^2)}})-z(p )$ und $r(p):=\sqrt{x(p)^2+y(p)^2}$ sind. Kann man $\omega$ auf ganz ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ als beliebig oft differenzierbare $1$-Differentialform fortsetzen? Gibt es eine Fortsetzung, so dass an der Stelle $p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3$ der Tangentialraum von $C_r, r\geq 1,$ oder $G_s$ der Kern von $\omega_p$ ist?

Aufgabe 4. Die Blätterung $B:=C_1 \cup \bigcup_{s\in {\fam\msbfam\tenmsb R}} G_s$ auf $\{p\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid x(p)^2+y(p)^2 \leq 1 \}$ ist invariant unter der Translation $p \mapsto p+e_3$, wobei $e_3=(0,0,1)$ ist. Konstruiere eine Blätterung auf dem Volltorus $R:=\{ p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^3 \mid r(p)\not=0,\vert\vert p- {1 \over {r(p)}} (x(p),y(p),0)\vert\vert \leq {1 \over 2}\}.$

Aufgabe 5. Zerlege $S^3:=\{p\in {\fam\msbfam\tenmsb R}^4 \mid x(p)^2+y(p)^2+z(p)^2+t(p)^2=1 \}$ in eine Vereinigung von $2$ Volltori, die den Rand gemeinsam haben.

Aufgabe 6. Konstruiere auf $S^3$ eine Blätterung.