toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

4. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $P:=\sum_{1\leq i,j \leq n} a_{i,j}{\partial^2 \over {\partial{x_i}\partial{x_j}}}$ ein homogener Differentialoperator zweiter Ordnung, wobei $a_{i,j}:D \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ stetige Funktionen auf den Ball $D:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^n \mid \vert\vert p\vert\vert _{Eukl} \leq 1\}$ sind. Wir nehmen an, dass $a_{i,j}=a_{j,i}$ gilt, und dass für $p \in D \setminus \partial{D}$ die Matrix $(a_{i,j}(p)$ definit ist. Sei $f:D \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ eine stetige Funktion, die auf $D \setminus \partial{D}$ zweimal differenzierbar ist und die $Pf=0$ auf $D \setminus \partial{D}$ und $f=0$ auf $\partial{D}$ erfüllt. Zeige $f=0$ auf $D$. Hinweis: es existieren beliebig kleine Linearformen $L \in ({\fam\msbfam\tenmsb R}^n)^*$ so dass $f+L$ eine Morsefunktion auf $D \setminus \partial{D}$ ist. Führe die Annahme $f\not=0$ zum Widerspruch mit $P(f+L)(p)=0$, wobei $f+L$ Morsefunktion ist, $\vert\max_{D} L\vert < \max_{D} \vert f\vert$ gilt und $p \in D \setminus \partial{D}$ ein Maximum oder Minimum von $f+L$ ist.

Aufgabe 2. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ ein nicht konstantes Polynom. Zeige, dass $f$ holomorph ist. Zeige, dass die Funktionen Realteil $\Re(f)$ und Imaginärteil $\Im(f)$ harmonisch sind.

Aufgabe 3. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ ein Polynom. Seien $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid f(z)\in {\fam\msbfam\tenmsb R}\}$ und $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid f(z)\in i{\fam\msbfam\tenmsb R}\}$. Sei $K_f:=\{z\in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid df_z=0 \}$. Zeige, dass $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ und $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ Graphen mit den Ecken in $K_f$ und mit differenzierbaren Kantenzügen sind. Ist $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ oder $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ eine beschränkte Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$? Kann $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ oder $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ eine beschränkte Zusammenhangskomponente haben? Bestimme $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}} \cap \{ z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert=r \}$ und $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}} \cap \{ z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert=r \}$ für $r > 0$ und gross.

Aufgabe 4. (Fortsetzung) Zeige, dass in jeder Ecke von $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ oder $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ gerade viele Kanten anstossen.

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ und $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ keine Zykeln haben.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige, dass $G_{{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ und $G_{i{\fam\msbfam\tenmsb R}}$ sich schneiden. Schliesse, dass $f$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ eine Nullstelle hat und beweise somit den Fundamentalsatz der Algebra.

Aufgabe 7. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ bijektiv und stetig. Zeige, dass die Umkehrabbildung $f^{-1}$ stetig ist.

Aufgabe 8. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ bijektiv und differenzierbar. Ist die Umkehrabbildung $f^{-1}$ differenzierbar?

Aufgabe 9. Sei $f:{\fam\msbfam\tenmsb C}\to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ bijektiv und holomorph. Ist die Umkehrabbildung $f^{-1}$ holomorph?