Aufgabe 1. Sei der -dimensionale Euklidische Vektorraum mit Skalarprodukt . Wir bezeichnen mit die Einheitskugel und mit das Innere von . Für sei die Spiegelung . Für sei die Inversion an der Sphäre mit Zentrum und Radius . Für gilt . Sei die die Einschränkung der Zusammensetzung auf . Zeige für , dass und gelten. Zeige, dass für und das Differential von eine direkte Ähnlichkeit ist.
Aufgabe 2. Sei stetig und harmonisch auf . Zeige das Maximumsprinzip, d.h. zeige . Hinweis: Man kann linear und beliebig klein wählen, derart dass auf eine Morsefunktion ist.
Aufgabe 3. (Fortsetzung) Sei stetig und harmonisch auf . Zeige für , dass harmonisch ist.
Aufgabe 4. (Fortsetzung) Sei ein Stetigkeitsmodulus für . Zeige, dass für die Funktionen und gleichen Stetigkeitsmodulus und gleichen Wert in haben. Zeige, dass auf harmonisch ist. Die Funktion hat die Symmetrie .
Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass es eine Folge
in
gibt, derart dass die Funktionsfolge
Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige für die Mittelwerteigenschaft:
Aufgabe 7. (Fortsetzung) Für bestimme derart, dass gilt. Schliesse: .
Aufgabe 8. (Fortsetzung) Finde eine Integralformel für .
Aufgabe 9. Beweise noch einmal das Maximumsprinzip für harmonische Funktionen.