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toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02



Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I
5. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $E_n$ der $n$-dimensionale Euklidische Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle\,,\,\rangle$. Wir bezeichnen mit $B$ die Einheitskugel und mit $H$ das Innere von $B$. Für $a \in E_n \setminus \{0\}$ sei $s_a$ die Spiegelung $u \in E_n \mapsto u-{1 \over {\vert\vert a\vert\vert}}\langle u,a \rangle a$. Für $a \in E_n \setminus B$ sei $i_a$ die Inversion an der Sphäre mit Zentrum $a$ und Radius $\sqrt{\vert\vert a\vert\vert^2-1}$. Für $u\in E_n,u \not= a$ gilt $i_a(u)=a+{\vert\vert a\vert\vert^2-1 \over {\vert\vert u-a\vert\vert}}(u-a)$. Sei $\tau_a$ die die Einschränkung der Zusammensetzung $i_a \circ s_a$ auf $H$. Zeige für $a \in E_n \setminus B$, dass $\tau_a(H)=H$ und $\tau_a(B)=B$ gelten. Zeige, dass für $a \in E_n \setminus B$ und $p \in H$ das Differential von $\tau_a$ eine direkte Ähnlichkeit ist.

Aufgabe 2. Sei $f:B \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ stetig und harmonisch auf $H$. Zeige das Maximumsprinzip, d.h. zeige $\max \{f(u) \mid u \in B\} = \max \{f(u) \mid u \in \partial{B}\}$. Hinweis: Man kann $L:E_n \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ linear und beliebig klein wählen, derart dass $f+L$ auf $H$ eine Morsefunktion ist.

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Sei $f:B \to {\fam\msbfam\tenmsb R}$ stetig und harmonisch auf $H$. Zeige für $a \in E_n \setminus B$, dass $f \circ \tau_a$ harmonisch ist.

Aufgabe 4. (Fortsetzung) Sei $\epsilon \mapsto \delta(\epsilon)$ ein Stetigkeitsmodulus für $f$. Zeige, dass für $a \in E_n \setminus B$ die Funktionen $f_a:={1 \over 2}(f+f\circ s_a)$ und $f$ gleichen Stetigkeitsmodulus $\epsilon \mapsto \delta(\epsilon)$ und gleichen Wert in $0$ haben. Zeige, dass $f_a$ auf $H$ harmonisch ist. Die Funktion $f_a$ hat die Symmetrie $f_a \circ s_a=f_a$.

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass es eine Folge $(a_k)_{k\in {\fam\msbfam\tenmsb N}}$ in $\partial{B}$ gibt, derart dass die Funktionsfolge

\begin{displaymath}
f, f_{a_0},f_{a_0,a_1},f_{a_0,a_1,a_2}, \cdots
\end{displaymath}

gleichmässig gegen eine konstante Funktion auf $B$ konvergiert. Hinweis: Zeige zuerst, dass die Einschränkungen auf $\partial{B}$ konvergieren.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige für $f$ die Mittelwerteigenschaft:

\begin{displaymath}
f(0)={\rm MW}_{\partial{B}}(f):={1 \over {{\rm Vol}_{n-1}(\partial{B})}} \int_{\partial{B}} f(u) dVol_{\partial{B}}(u).
\end{displaymath}

Aufgabe 7. (Fortsetzung) Für $u \in H$ bestimme $a=a(u) \in E_n \setminus B$ derart, dass $\tau_a(0)=u$ gilt. Schliesse: $f(u)={\rm MW}_{\partial{B}}(f\circ \tau_{a(u)})$.

Aufgabe 8. (Fortsetzung) Finde eine Integralformel für $f(u)$.

Aufgabe 9. Beweise noch einmal das Maximumsprinzip für harmonische Funktionen.




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