toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

7. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $U:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert < 1 \}$. Zeige, dass mit

$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^n$$

und

$$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n!}$$

auf $U$ holomorphe Funktionen $f$ und $g$ erklärt werden.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Eine zusammenhängende offene Teilmenge $U$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ heisst Holomorphiebereich in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ einer holomorphen Funktion $h:U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ wenn keine holomorphe Funktion $k:U' \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $U \subset U', U\not=U'$ existiert, derart dass die Einschränkung von $k$ auf $U$ mit $h$ übereinstimmt und $U'$ zusammenhängend ist. Zeige, dass $U:=\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z\vert < 1 \}$ Holomorphiebereich in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ für $g$ aber nicht für $f$ ist.

Aufgabe 3. Sei $U$ eine zusammenhängende offene Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$. Seien $f,g:U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ holomorphe Funktionen, deren Einschränkungen auf einer nichtleeren offenen Teilmenge $U''\subset U$ übereinstimmen. Zeige: $f=g$.

Aufgabe 4. Sei $U:=\{z\in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert 1-z\vert < 1\}$ und sei $w:U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ die holomorphe Funktion, gegeben durch

$$w(z)=1+{{z-1} \over 2}+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1} {{1\cdot3\cdot5\cdot \,\cdots \,\cdot(2n-1)} \over {2^nn!}}(z-1)^n.$$

Zeige: $w(z)^2=z$. Deshalb ist es gerechtfertigt, $w(z)$ für $z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}, \vert 1-z\vert < 1,$ als $\sqrt{z}$ zu notieren.

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Zeige, dass auf ${\fam\msbfam\tenmsb R}$ keine differenzierbare Funktion $f$ mit $f(x)=w(x), \vert 1-x\vert<1,$ existiert.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Zeige, dass $U$ kein Holomorphiebereich in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ für $w$ ist.

Aufgabe 7. (Fortsetzung) Zeige, dass für $p\in{\fam\msbfam\tenmsb C}, p\not=0,$ eine zusammenhängende offene Teilmenge $U'$ mit $\{p\} \cup U \subset U'$ und eine holomorphe Funktion $W:U' \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $w=W$ auf $U$ existieren.

Aufgabe 8. (Fortsetzung) Zeige, dass keine holomorphe Funktion $W:{\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\} \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $W=w$ auf $U$ existiert.

Hinweis: Aus Aufgabe $3$ folgt, dass, wenn es doch eine solche Funktion $W$ gäbe, die holomorphen Funktionen $z \mapsto W(z)^2$ und $z \mapsto z$ auf ${\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\}$ übereinstimmen würden. Für $t\in [0,1[$ würde dann gelten $W(e^{2\pi i t})=e^{\pi i t}$. Berechne das Wegintegral von $dW$ über den geschlossenen Weg $t\in [0,1] \mapsto e^{2\pi i t} \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\}$. Stelle einen Widerspruch mit der Annahme der Existenz der Funktion $W$ fest.

Aufgabe 9. Definiere auf $\{z \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert 1-z\vert < 1 \}$ mittels einer Potenzreihe eine holomorphe Funktion $w(z)$ mit $w(1)=1$ und $w(z)^2={{z(1+z)} \over 2}$. Konstruiere auf ${\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus [-1,0]$ eine holomorphe Funktion $W$ mit $W(1)=1$ und $W(z)^2={{z(1+z)} \over 2}$.

Aufgabe 10. (Fortsetzung) Zeige, dass ${\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus [-1,0]$ Holomorphiebereich in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ der Funktion $W$ ist.

Aufgabe 11. Ein generisches Kunstwerk ist eine endliche Vereinigung von Geraden in der Ebene, derart dass die Anzahl von Doppelpunkten endlich und maximal ist. Eine generisches Kunstwerk bestehend aus $n$ Geraden hat ${{n(n-1)} \over 2}$ Doppelpunkten. Ein generisches Kunstwerk bestehend aus $3$ oder mehr Geraden kann man kostengünstig mit $n$ Nägeln stabil an der Wand befestigen, indem man durch $n$ Doppelpunkte Nägel treibt, derart dass durch jede Gerade genau zwei Nägel gehen. Sei $g_n$ die Anzahl möglicher kostengünstiger stabiler Befestigungen eines generisches Kunstwerkes von $n$ Geraden mit $n$ Nägeln. Offensichtlich gilt $g_0=1$ und wegen der Stabilität $g_1=g_2=0$. Zeige für $n \geq 3$

$$g_n=(n-1)g_{n-1}+{{(n-2)(n-1)} \over 2}g_{n-3}.$$

Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe

$$g(t):=\sum_{n=0}^{\infty} g_n {{t^n} \over {n!}}.$$

Zeige, dass die Funktion $g$ die Differentialgleichung $g'(t)=tg'(t)+{{t^2} \over 2} g(t)$ erfüllt. Leite aus ${{g'(t)}\over {g(t)}}={{t^2} \over {2(1-t)}}$ her:

$$g(t)={1 \over {\sqrt{1-t}}} \exp(-{{t^2+2t} \over {4}}).$$

Hinweis: W. A. Whitworth, Choice and chance, Bell, 1901 (reprinted Haffner, 1965).