Aufgabe 0. Betrachte auf die Zweipunktfunktion . Zeige, dass eine translationsinvariante Distanz auf der Gruppe ist. Zeige, dass der Raum vollständig ist.
Aufgabe 1. Sei . Zeige, dass ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren in genau dann in konvergiert, wenn die Reihe in konvergiert.
Hinweis: Sei . Sei die Funktion . Für ein in konvergentes Produkt existiert ein derart dass für alle gilt: . Betrachte die ``Reihe'' in .
Aufgabe 2. Zeige, dass das Produkt
auf ganz
eine holomorphe Funktion definiert. Zeige:
Aufgabe 3. (Fortsetzung) Definiere die Funktion mit . Berechne .
Aufgabe 4. Für
gilt die Identität
Aufgabe 5. (Fortsetzung) Substituiere und in
der Formel von und leite her:
Aufgabe 6. (Fortsetzung) Bilde in der Formel von den Grenzübergang
(mit Begründungen) und erhalte
Aufgabe 7. Leite aus
Aufgabe 8. Für ergibt sich:
Aufgabe 9. Zeige:
Die Aufgaben stammen aus:
Introductio in Analysin Infinitorum,
Auctore Leonhardo Eulero,
Professore Regio Berolinensi, & Academia Imperialis Scientiarum Petropolitanae Socio.,
Tomus Primus,
Lausannae,
Apud Marcum-Michaelem Bousquet & Socios.
MDCCXLVIII