toProf. N. A'CampoWintersemester 2001/02

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen I

9. Aufgabenblatt

Aufgabe 0. Sei $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb C}, U \not={\fam\msbfam\tenmsb C},$ eine einfach zusammenhängende offene nichtleere Teilmenge. Wähle $a \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus U, b \in U, \beta \in {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $\beta^2 = b-a$. Konstruiere eine holomorphe Funktion $W: U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}$ mit $W(b)=\beta$ so, dass für $z \in U$ gilt: $W(z)^2=z-a$.

Aufgabe 1. (Fortsetzung) Für $0<r < R$ sei $U_{r,R}:=\{z \in U \mid r <\vert z-a\vert < R \}$. Zeige: $W(U_{r,R})$ ist eine offene Teilmenge in $\{ w \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \sqrt{r} < \vert w\vert < \sqrt{R} \}$, deren Oberfläche ${1 \over 2} \pi (R-r)$ nicht übersteigt. Hinweis: Es gelten $-W(U_{r,R}) \subset \{ w \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \sqrt{r} < \vert w\vert < \sqrt{R} \}$ und $-W(U_{r,R}) \cap W(U_{r,R})=\emptyset$.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige, dass ein $c\in {1 \over 2} \pi (R-r)$ und $\rho >0$ existieren, derart dass $\{ z\in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert z-c\vert \leq \rho \}$ das Bild $W(U_{r,R})$ nicht trifft.

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Zeige, dass die Funktion $G(z):={\rho \over {w(z)-c}}$ die Menge $U$ injektiv auf eine Teilmenge in $E:=\{ w \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert w\vert < 1 \}$ abbildet.

Aufgabe 4. (Fortsetzung) Zeige: $G'(z)\not=0$ für $z \in U$.

Aufgabe 5. (Fortsetzung) Sei $X$ die Menge aller injektiven holomorphen Funktionen $g:U \to E$ mit $g(b)= 0$ und $g'(b) \in {\fam\msbfam\tenmsb R}_{\geq 0}$. Zeige, dass der Raum $X \cup \{0\}$ für die Topologie der gleichmässigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen in $U$ kompakt ist.

Aufgabe 6. (Fortsetzung) Sei $h \in X$ die Funktion auf $U$, so dass $h'(b)$ maximal ist. Zeige, dass $h:U \to E$ bijektiv mit holomorpher Umkehrabbildung ist. Hinweis: Wäre $h$ nicht surjektiv, dann existierte $a \in E$ mit $a \notin h(U)$. Definiere, siehe Aufgabe $0$, eine Funktion

$$z\in U \mapsto W(z):=\sqrt{{{a-h(z)} \over {1-\bar{a}h(z)}}}\in E$$

mit $W(b)^2=a$. Sei $h_1(z):={{W(b)-W(z)} \over {1-\bar{W(b)}W(z)}}$. Dann wäre für ein geeignetes $\theta \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ die Funktion $z\in U \mapsto e^{i\theta}h_1(z)\in E$ Element in $X$ und es müsste gelten $e^{i\theta}h_1'(b)>h'(b)$.

Aufgabe 7. Beweise den folgenden Satz von Bernard Riemann, geb. 17. September 1826 in Breselenz (= Jameln bei Lüchow), verst. 20. Juli 1866 in Selasca (=Verbania in Italien):

Theorem 1   (Riemannscher Abbildungssatz.) Sei $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb C}, U \not={\fam\msbfam\tenmsb C},$ eine einfach zusammenhängende offene nichtleere Teilmenge. Dann existiert eine Bijektion $h:U \to E:\{w \in {\fam\msbfam\tenmsb C}\mid \vert w\vert < 1 \}$, derart dass $h$ und $h^{-1}$ holomorph sind. Ist $b\in U$ gegeben, dann existiert genau eine holomorphe Bijektion $h:U \to E$ mit $h(b)=0, h'(b) \in {\fam\msbfam\tenmsb R}_{>0}$.

Aufgabe 8. (Fortsetzung) Zeige, dass $U$ Holomorphiebereich in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ einer holomorphen Funktion auf $U$ ist.

Aufgabe 9. Sei $U$ eine zusammenhängende offene nichtleere Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$. Wir nehmen an, dass zu jeder holomorphen Funktion $f:U \to {\fam\msbfam\tenmsb C}\setminus \{0\}$ eine holomorphe Funktion $W$ auf $U$ mit $W^2=f$ existiert. Zeige, dass entweder $U={\fam\msbfam\tenmsb C}$ gilt oder eine holomorphe Bijektion $h:U \to E$ existiert.

Aufgabe 10. Für eine offene Teilmenge $U$ in ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ sei ${\it O}(U)$ der Ring aller holomorphen Funktionen auf $U$. Kann man aus ${\it O}(U)$ ablesen ob $U$ zusammenhängend, oder einfach zusammenhängend, oder ganz ${\fam\msbfam\tenmsb C}$ oder holomorph Äquivalent zu $E$ ist?

Aufgabe 11. Zeige für $n\in {\fam\msbfam\tenmsb N},n>1$ :

$$\int_0^{\infty} {{dx} \over {1+x^n}} ={{\pi/n} \over {\sin(\pi/n)}}.$$

Hinweis: Betrachte die Wegintegrale $\int_{\gamma_R} {{dz} \over {1+z^n}}$, wobei für $R\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, R >1,$ der Weg $\gamma_R$ aus drei Abschnitte zusammengesetzt ist. Die Abschnitte sind $[0,R]$ von $0$ nach $R$, $t \in [0,1/n] \mapsto Re^{2\pi i t}$ und $t\in [R,0] \mapsto te^{2\pi i/n}$. Betrachte auch die Wegintegrale $\int_{\delta_{rho}} {{dz} \over {1+z^n}}$, wobei der Weg $\delta_{\rho}$ durch $t\in [0,1] \mapsto \delta_{\rho}(t)=e^{\pi i/n}+\rho e^{2\pi it}, 0< \rho < {1 \over {2n}}$ gegeben ist. Führe den Grenzübergang für $R \to +\infty$ und $\rho \to +0$ aus.

Aufgabe 12. Sei $P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+ \cdots +a_1 x+a_0\in {\fam\msbfam\tenmsb Q}[x], n>0,a_{2n}\not=0,$ ein rationales Polynom ohne Nullstellen in ${\fam\msbfam\tenmsb R}$. Zeige, dass $I:={1 \over {\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} {{dx} \over {P(x)}}$ eine algebraische Zahl ist, d. h. $I$ ist Nullstelle eines rationalen Polynoms.

Aufgabe 13. Berechne $\int_{-\infty}^{\infty} {{dx} \over {1+x+x^2+7x^4}}$.