toProf. N. A'CampoSommersemester 2002

Übungen zur Vorlesung Elementare elliptische Relationen II

6. Aufgabenblatt

Aufgabe 1. Sei $U$ eine offene Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^3$. Seien $X,Y$ beliebig oft differenzierbare Vektorfelder auf $U$, so dass für $p \in U$ die Vektoren $X_p$ und $Y_p$ linear unabhängig sind. Konstruiere auf $U$ eine $1$-Differentialform $\omega$, die auf $U$ nirgendwo verschwindet, und mit $\omega_p(X_p)=\omega_p(Y_p)=0$ für $p \in U$.

Aufgabe 2. (Fortsetzung) Zeige für $p \in U$, dass $(d\omega(X,Y))_p=0$ genau dann gilt, wenn die Vektoren $X_p,Y_p$ und $[X,Y]_p$ linear abhängig sind. Hier ist $[X,Y]$ die Liesche Klammer.

Aufgabe 3. (Fortsetzung) Wir setzen $d\omega(X,Y)=0$ auf $U$ voraus. Konstruiere auf $U$ eine $1$-Differentialform $\alpha$, für die $d\omega=\alpha \wedge \omega$ gilt. Gilt die Bedingung von Frobenius: $\omega \wedge d\omega =0$?

Aufgabe 4. (Fortsetzung) Wir behalten die Voraussetzung $d\omega(X,Y)=0$ auf $U$ bei. Sei $p \in U$. Zeige, dass die $1$-Differentialform $\omega$ wie in Aufgabe $1$ lokal um $p$ geschlossen gewählt werden kann. Konstruiere lokal um $p$ eine Funktion ohne kritische Punkte $f$ mit den Eigenschaften $(Df)(X)=0$ und $(Df)(Y)=0$.

Aufgabe 5. Sei $S^3:=\{x,y \in {\fam\msbfam\tenmsb C}^2 \mid x\bar{x}+y\bar{y}=1 \}$. Seien $X,Y$ auf $S^3$ die Vektorfelder, die tangent an $S^3$ sind, und durch $X_p:=(ix(p),iy(p)), Y_p:=(-\bar{y}(p),\bar{x}(p) )$ gegeben sind. Hier $i:=\sqrt{-1}$. Berechne $[X,Y]$. Existiert lokal auf $S^3$ eine Funktion $f$ mit $(Df)(X)=0$ und $(Df)(Y)=0$?

Aufgabe 6. Konstruiere auf $S^3$ Tangentialvektorfelder $X,Y$ die punktweise linear unabhängig sind, derart, dass lokal auf $S^3$ reguläre Funktionen $f$ mit $(Df)(X)=(Df)(Y)=0$ existieren. Zeichne die von $X$ und $Y$ definierte Blätterung auf $S^3$.