toProf. N. A'CampoInfini II, Sommersemester 2001

Umkehrsatz für differenzierbare Funktionen

Seien $(V,\vert\vert\,\,\vert\vert _V$ und $(W,\vert\vert\,\,\vert\vert _W)$ normierte endlichdimensionale ${\fam\msbfam\tenmsb R}$-Vektorräume. Sei $U \subset V$ eine offene Teilmenge in $V$ und sei $f:U \to W$ eine stetig differenzierbare Funktion. Im ersten Teil dieses Skripts werden wir aus zusätzlichen Annahmen über das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in U$ Eigenschaften für die Funktion $f$ herleiten. Im zweiten Teil wird der sogenannte Umkehrsatz behandelt. Im dritten Teil kommen Anwendungen. Wir werden die Notationen $b^V(p,R):=\{q \in V \mid \vert\vert p-q\vert\vert _V < R \}$ und $B^V(p,R):=\{q \in V \mid \vert\vert p-q\vert\vert _V \leq R \}$ für $p \in V$ und $R \in R, R >0,$ gebrauchen. Die Teilmenge $b^V(p,R)$ heisst offene Kugel mit Zentrum $p$ und mit Radius $R$ im Raum $V$. Die Teilmenge $B^V(p,R)$ heisst abgeschlossene Kugel mit Zentrum $p$ und mit Radius $R$ im Raum $V$. Für $p \in U$ und $U$ offene Teilmenge in $V$ existiert ein $R\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, R > 0,$ mit $b^V(p,R) \subset U$. Für jede Zahl $R' \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ mit $0 < R' < R$ gilt dann $B^V(p,R') \subset U$.

1.1 Wir machen zunächst die zusätzliche Annahme, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ injektiv ist.

Sei

$$\Lambda:=\vert\vert(Df)_p\vert\vert _{V,W}:= \mathop{\hbox{\... ...vert(Df)_p(h)\vert\vert _W} \over {\vert\vert h\vert\vert _V}}$$

die Operatornorm des Differentials und sei

$$\lambda:=\mathop{\hbox{\rm Inf}}\nolimits _{h \in V, h\not= ... ...ert(Df)_p(h)\vert\vert _W} \over {\vert\vert h\vert\vert _V}}.$$

die sogenannte Ko-Operatornorm des Differentials. Es gilt $\lambda \leq \Lambda$. Da wir angenommen haben, dass das Differential $(Df)_p$ injektiv ist und der Raum $V$ endlicher Dimension ist, gilt $\lambda > 0$. Für $h \in V$ gilt nun

$$\lambda \vert\vert h\vert\vert _V \leq \vert\vert(Df)_p(h)\vert\vert _W \leq \vert\vert h\vert\vert _V$$

und somit ist das Differential $(Df)_p:V \to W$ eine Lipschitz-Einbettung von $V$ in $W$.

Da $U$ eine offene Teilmenge in $V$ ist, existiert ein $R\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, R > 0,$ mit $B^V(p,R) \subset U$.

Sei nun $R^{(1)}\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0 < R^{(1)} \leq R,$ so gewählt, dass für $\vert\vert h\vert\vert _V \leq R^{(1)}$ das Restglied $R(p,h)\in W$ der Dreigliedentwickelung

$$f(p+h)=f(p)+(Df)_p(h)+R(p,h)$$

die Abschätzung $\vert\vert R(p,h)\vert\vert _W \leq 1/2\,\lambda\vert\vert h\vert\vert _V$ erfüllt. Ein solches $R^{(1)}$ existiert, da hier $1/2\,\lambda > 0$ ist, und da das Restglied relativ klein zu $h$ ist.

Daraus folgt, dass $f$ die folgende Eigenschaft hat: für $q \in B^V(p,R^{(1)})$ mit $q \not=p$ gilt $f(p)\not= f(q)$.

Denn für $h=q-p$ gilt die Abschätzung

$$\vert\vert f(q)-f(p)\vert\vert _W =\vert\vert(Df)_p(h)+R(p,h)\vert\vert _W \geq$$

$$\vert\vert(Df)_p(h)\vert\vert _W -\vert\vert R(p,h)\vert\vert _W \geq$$

$$\lambda \vert\vert h\vert\vert _V -1/2\,\lambda \vert\vert h\vert\vert _V =1/2\,\lambda \vert\vert h\vert\vert _V > 0.$$

Beachte, dass wir nicht behaupten, es gäbe ein $R^{(1)} >0$ mit $f(q_1)\not=f(q_2)$ für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(1)}), q_1 \not= q_2.$

Als Beispiel untersuche die Funktion $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}, f(x)= x+x^2\sin ({1 \over {x^3}})$ an der Stelle $x=0$; $f$ ist differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar!

1.2 Wir machen wieder die zusätzliche Annahme, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ injektiv ist, aber wir werden in der Argumentation auch ausnutzen, dass $f$ stetig differenzierbar ist.

Per Definition ist $f:U \to W$ stetig differenzierbar, wenn die Zuordnung $q \in U \mapsto (Df)_q \in \mathop{\hbox{\rm Hom}}\nolimits (V,W)$ stetig ist. Wegen der Stetigkeit der Zuordnung $q \in U \mapsto (Df)_q \in \mathop{\hbox{\rm Hom}}\nolimits (V,W)$ an der Stelle $p \in U$, existiert also zu jedem $\epsilon \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, \epsilon > 0,$ ein $\delta \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, \delta > 0,$ derart, dass für $q \in B^V(p,\delta)$ gilt:

$$\vert\vert(Df)_p - (Df)_q\vert\vert _{V,W} \leq \epsilon.$$

Es sei bereits $R\in {\fam\msbfam\tenmsb R}, R > 0,$ so gewählt, dass $B^V(p,R) \subset U$ gilt.

Wir erhalten die zusätzliche Eigenschaft der Existenz eines $R^{(2)} \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0< R^{(2)} \leq R,$ derart, dass für $q \in B^V(p,R^{(2)})$ das Differential $(Df)_q:V \to W$ injektiv ist. Denn wähle $R^{(2)} \in R, 0< R^{(2)} \leq R,$ so, dass für $q \in B^V(p,R^{(2)})$ gilt:

$$\vert\vert(Df)_p - (Df)_q\vert\vert _{V,W} \leq 1/2\,\lambda.$$

Für $q \in B^V(p,R^{(2)})$ und $h \in V, h \not=0,$ gilt dann

$$\vert\vert(Df)_q(h)\vert\vert _V=\vert\vert(Df)_p(h) + ((Df)_q-(Df)_p)(h)\vert\vert _W \geq$$

$$\vert\vert(Df)_p(h)\vert\vert _W-\vert\vert((Df)_q-(Df)_p)(h)\vert\vert _W$$

$$\geq \lambda \vert\vert h\vert\vert _V -1/2\,\lambda \vert\vert h\vert\vert _V=1/2\,\lambda \vert\vert h\vert\vert _V > 0,$$

und somit ist für $q \in B^V(p,R^{(2)})$ das Differential $(Df)_q$ injektiv.

Wir können die erzielte Eigenschaft wie folgt schärfer formulieren: Ist die Ko-Norm des Differentials $(Df)_p$ gleich $\lambda > 0$, dann sind die Ko-Normen der Differentiale $(Df)_q$, wobei $q$ eine Kugel $B^V(p,R^{(2)})$ durchläuft, grösser gleich $1/2\,\lambda$.

1.3 Wir machen wieder die zusätzliche Annahme, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ injektiv ist.

Die Eigenschaft, die wir herleiten, ist die Existenz eines $R^{(3)} \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0< R^{(3)} \leq R,$ derart, dass für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(3)}),q_1 \not= q_2,$ gilt $f(q_1)\not=f(q_2)$.

Diese Eigenschaft lässt sich prägnant so formulieren: Ist das Differential an einer Stelle $p \in U$ injektiv, dann ist $f$ an der Stelle $p$ lokal injektiv. Dabei bedeutet lokal injektiv an der Stelle $p$, dass für ein $R^{(3)} > 0$ die Einschränkung von $f$ auf $B^V(p,R^{(3)})$ injektiv ist.

Denn wähle $R^{(3)}=R^{(2)}$. Für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(2)})$ liegt der Weg

$$t \in [0,1] \mapsto \gamma(t):=(1-t)q_1+tq_2 \in V$$

ganz in $B^V(p,R^{(2)})$ und verbindet die Punkte $q_1,q_2$. Es gilt:

$$f(q_2)-f(q_1)=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=$$

$$\int_0^1 (Df)_{\gamma(t)}({d \over {dt}} \gamma(t)) dt\,,$$

da $f \circ \gamma$ Stammfunktion des Integranden $(Df)_{\gamma(t)}({d \over {dt}} \gamma(t))$ ist.

Bemerke ${d \over {dt}} \gamma(t)=q_2-q_1, t\in [0,1]$. Es folgt nun

$$f(q_2)-f(q_1)=$$

$$\int_0^1 (Df)_p(q_2-q_1)dt + \int_0^1 ((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}-(Df)_p)(q_2-q_1)dt=$$

$$(Df)_p(q_2-q_1)+\int_0^1 ((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}-(Df)_p)(q_2-q_1)dt$$

und

$$\vert\vert f(q_2)-f(q_1)\vert\vert _W \geq$$

$$\vert\vert(Df)_p(q_2-q_1)\vert\vert _W-\vert\vert\int_0^1 ((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}(Df)_p)(q_2-q_1)dt\vert\vert \geq$$

$$\lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V-1/2\,\lambda \vert\v... ...1\vert\vert _V=1/2\,\lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V\,,$$

da

$$\vert\vert(Df)_p(q_2-q_1)\vert\vert _W \geq \lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V$$

$$\vert\vert\int_0^1 ((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}(Df)_p)(q_2-q_1)dt\vert\vert \leq$$

$$\int_0^1 \vert\vert((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}(Df)_p)(q_2-q_1)\vert\vert _W dt \leq$$

$$\int_0^1 1/2\, \lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V dt= 1/2\, \lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V$$

gelten.

1.4 Wir machen wieder die zusätzliche Annahme, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ injektiv ist. Dann gibt es ein $R^{(4)} \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0 < R^{(4)} \leq R$, derart dass die Einschränkung $g:=f_{\vert B^V(p,R^{(4)})}$ von $f$ auf $B^V(p,R^{(4)})$ eine Lipschitz-Einbettung $g:B^V(p,R^{(4)}) \to W$ ist.

Denn wähle $R^{(4)}=R^{(2)}$. Dann gilt für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(2)})$

$$1/2\,\lambda \vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V \leq \vert\vert... ..._W \leq (\Lambda+1/2\,\lambda)\vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V.$$

Die erste Ungleichung hatten wir schon bewiesen, die zweite folgt aus:

$$\vert\vert g(q_1)-g(q_2)\vert\vert _W=\vert\vert f(q_2)-f(q_1)\vert\vert _W \leq$$

$$\vert\vert(Df)_p(q_2-q_1)\vert\vert _W+\vert\vert\int_0^1 ((Df)_{(1-t)q_1+tq_2}-(Df)_p)(q_2-q_1)dt\vert\vert \leq$$

$$(\Lambda+1/2\,\lambda)\vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V.$$

1.5 Wir machen wieder die zusätzliche Annahme, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ injektiv ist. Dann gibt es ein $R^{(5)} \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0 < R^{(5)}\leq R,$ derart, dass für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(5)})$ der Term $R(p,q_1,q_2-q_1)$, der durch

$$R(p,q_1,q_2-q_1):=f(q_2)-f(q_1)-(Df)_p(q_2-q_1)$$

definiert ist, die Abschätzung

$$\vert\vert R(p,q_1,q_2-q_1)\vert\vert _W \leq 1/2\,\lambda \vert\vert(q_2-q_1)\vert\vert _W$$

erfüllt.

Denn wähle $R^{(5)}= R^{(2)}$ so, dass dann für $q \in B^V(p,R^{(5)})$ gilt

$$\vert\vert(Df)_p - (Df)_q\vert\vert _{V,W} \leq 1/2\,\lambda.$$

Es folgt für $q_1,q_2 \in B^V(p,R^{(5)})$ (siehe oben)

$$\vert\vert R(p,q_1,q_2-q_1)\vert\vert _W=$$

$$\vert\vert\int_0^1 (Df)_{(1-t)q_1+tq_2}-(Df)_{p}(q_2-q_1)dt\vert\vert _W\leq$$

$$1/2\,\lambda \vert\vert(q_2-q_1)\vert\vert _V.$$

2.1 Jetzt nehmen wir sogar an, dass das Differential $(Df)_p:V \to W$ an der Stelle $p \in V$ ein Isomorphismus von $V$ nach $W$ ist.

Bemerkt sei vorerst, dass die Vektorräume $V$ und $W$ nun gleicher Dimension sind. Das Inverse der Ko-Norm $\lambda$ des Differentials $(Df)p$ stimmt überein mit der Operatornorm $\vert\vert(Df)_p^{-1}\vert\vert _{W,V}$ der Umkehrung $(Df)_p^{-1}:W \to V$ des Differentials $(Df)_p$. Es gilt also

$$\vert\vert(Df)_p^{-1}\vert\vert _{W,V}={1 \over {\lambda}}.$$

Die Eigenschaft, die wir herleiten, ist die Existenz eines $R^{(6)} \in {\fam\msbfam\tenmsb R},0 < R^{(6)} \leq R$ derart, dass für jedes $0 < r < R^{(6)}$ die Inklusion $B^W(f(p),1/2\,\lambda r) \subset f(B^V(p,r))$ gilt.

Dazu wähle wiederum $R^{(6)}=R^{(2)}$. Sei $r \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, 0 < r < R^{(2)}$. Sei $w \in B^W(f(p),1/2\,\lambda r)$. Um die Inklusion $B^W(f(p),1/2\,\lambda r) \subset f(B^V(p,r))$ zu zeigen, mussen wir für jedes $w \in B^W(f(p),1/2\,\lambda r)$ ein $v \in B^V(p,r))$ mit $f(v)=w$ konstruieren. Anders gesagt, für jedes $w \in B^W(f(p),1/2\,\lambda r)$ mussen wir die Gleichung $f(v)=w$ nach ein $v \in B^V(p,r))$ lösen.

Statt direkt ein $v \in B^V(p,r))$ mit $f(v)=w$ anzugeben, werden wir $w \in B^W(f(p),1/2\,\lambda r)$ die Abbildung

$$q \in B^V(p,r) \mapsto N_w(q):=q-(Df)_p^{-1}(f(q)-w)\in W$$

zuordnen. Nun untersuchen wir die Abbildung $N_w$.

Es gilt $N_w(p) \in B^V(p,{1 \over 2}r)$. Denn

$$\vert\vert p-N_w(p)\vert\vert _V=\vert\vert(Df)_p^{-1}(f(p)-w)\vert\vert _V \leq$$

$$\vert\vert(Df)_p^{-1}\vert\vert _{W,V}\vert\vert f(p)-w\vert\vert _W \leq {1 \over {\lambda}} 1/2\,\lambda r={1 \over 2}r.$$

Es gilt $N_w(B^V(p,r)) \subset B^V(p,r)$. Dazu für $q\in B^V(p,r)$

$$\vert\vert N_w(q)-N_w(p)\vert\vert _V=\vert\vert(q-p)-(Df)_p^{-1}(f(q)-f(p))\vert\vert _V=$$

$$\vert\vert(q-p)-(Df)_p^{-1}((Df)_p(q-p)+R(p,q-p))\vert\vert _V=$$

$$\vert\vert(Df)_p^{-1}(R(p,q-p))\vert\vert _V \leq$$

$$\vert\vert(Df)_p^{-1}\vert\vert _{W,V}\vert\vert R(p,q-p)\vert\vert _W \leq$$

$${1 \over {\lambda}} 1/2\,\lambda r={1 \over 2}r.$$

Es folgt

$$\vert\vert N_w(q)-p\vert\vert _V \leq \vert\vert N_w(q)-N_w(p)\vert\vert _V+\vert\vert N_w(p)-p\vert\vert _V\leq r.$$

Da nun $N_w(B^V(p,r)) \subset B^V(p,r)$ zutrifft, können wir $N_w$ als Abbildung $N_w:B^V(p,r) \to B^V(p,r)$ auffassen.

Die Abbildung $N_w:B^V(p,r) \to B^V(p,r)$ ist eine Lipschitz-Abbildung mit Faktor ${1 \over 2}$. Denn für $q_1,q_2 \in B^V(p,r)$ gilt mit 1.5

$$\vert\vert N_w(q_2)-N_w(q_1)\vert\vert _V=\vert\vert(Df)_p^{-1}(R(p,q_1,q_2-q_1)\vert\vert _V\leq$$

$$\vert\vert(Df)_p^{-1}\vert\vert _{W,V}\vert\vert R(p,q_1,q_2-q_1)\vert\vert _W\leq$$

$${1 \over {\lambda}} 1/2\,\lambda \vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V=1/2\,\vert\vert q_2-q_1\vert\vert _V.$$

Die Abbildung $N_w$ hat höchstens einen Fixpunkt. Denn angenommen $q_1,q_2 \in B^V(p,r)$ sind zwei Fixpunkte. Dann gilt

$$\vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V=\vert\vert N_w(q_1)-N_w(q_2)\vert\vert _V\leq {1 \over 2} \vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V$$

und folglich $\vert\vert q_1-q_2\vert\vert _V=0$ und $q_1=q_2$.

Wir zeigen, dass die Abbildung $N_w$ einen Fixpunkt in $B^V(p,r)$ hat. Dazu betrachte die Folge $(v_n)_{n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}}$ in $B^V(p,r)$, die wir rekursiv definieren: $v_0=p$ und $v_{n+1}=N_w(v_n)$. Die Folge $(v_n)_{n\in {\fam\msbfam\tenmsb N}}$ ist eine Cauchy-Folge in $W$, somit konvergent in $B^V(p,r)$. Es gilt $N_w(\lim_{n \to \infty} v_n)=\lim_{n \to \infty} v_{n+1}$, und folglich ist $v:=\lim_{n \to \infty} v_n$ ein Fixpunkt für $N_w$.

Aber aus $v=N_w(v)=v-(Df)_p^{-1}(f(v)-w)$ folgt $f(v)=w$, also ist $v \in B^V(p,r)$ die gesuchte Lösung der Gleichung.

2.2 Sei $M \subset U$ eine nichtleere offene Teilmenge in $U$. Wir nehmen an, dass für alle $q \in M$ das Differential $(Df)_q:V \to W$ ein Isomorphismus ist. Die Eigenschaft betrifft das Bild $F(M) \subset W$ und besagt, dass $f(M)$ eine offene Teilmenge in $W$ ist.

Denn für $q \in M$ existiert nach 2.1 ein $r_q \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, r_q > 0,$ derart, dass $b^W(f(q),{{\lambda_q r_q} \over 2} \subset f(B^V(q,r_q))$ gilt, wobei $\lambda_q > 0$ die Ko-Norm des Differentials $(Df)_q$ ist. Es folgt $f(M)=\cup_{q \in M} b^W(f(q),{{\lambda_q r_q}\over 2}$, und somit ist $f(M)$ eine offene Teilmenge in $W$.

2.3 Wir formulieren und beweisen nun den Umkehrsatz für differenzierbare Funktionen.

Seien $A$ und $B$ offene Teilmengen in endlichdimensionalen ${\fam\msbfam\tenmsb R}$-Vektorräumen. Ein Diffeomorphismus von $A$ nach $B$ ist eine Bijektion $g:A \to B$, derart dass $g$ und die Umkehrabbildung $g^{-1}:B \to A$ differenzierbar sind. Für $p \in A$ ist die Zusammensetzung $(Dg^{-1})_(g(p) \circ (Dg)_p$ die Identitätsabbildung des Vektorraums, der $A$ umfasst. Es folgt, dass für $p \in A$ das Differential $(Dg)_p$ ein Isomorphismus von Vektorräumen ist.

Zum Beispiel ist die Abbildung $x \in {\fam\msbfam\tenmsb R}\mapsto x^3 \in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ bijektiv, aber kein Diffeomorphismus von $A={\fam\msbfam\tenmsb R}$ nach $B={\fam\msbfam\tenmsb R}$. Die Abbildung $x \in {\fam\msbfam\tenmsb R}\mapsto x^3+2^{-64} (x+1)^3\in {\fam\msbfam\tenmsb R}$ ist ein Diffeomorphismus.

Satz 1   Seien $(V,\vert\vert\,\,\vert\vert _V$ und $(W,\vert\vert\,\,\vert\vert _W)$ normierte endlichdimensionale ${\fam\msbfam\tenmsb R}$-Vektorräume. Sei $U \subset V$ eine offene Teilmenge in $V$ und sei $f:U \to W$ eine stetig differenzierbare Funktion. Sei für ein $p \in U$ das Differential $(Df)_p:V \to W$ ein Isomorphismus von Vektorräumen. Dann existiert ein $r \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, r > 0,$ mit $B^V(p,r) \subset U$ derart, dass das Bild $f(b^V(p,r))$ offen in $W$ ist und die Einschränkung von $f$ zu $g:=b^V(p,r) \to f(b^V(p,r))$ ein Diffeomorphismus ist.

Beweis:Wähle $r \in {\fam\msbfam\tenmsb R}, r > 0,$ mit $r < R^{(2)}$. Dann gilt $b^V(p,r) \subset U$ und nach 1.2 ist die Einschränkung von $f$ auf $b^V(p,r)$ injektiv. Weiter ist nach 1.3 für jedes $q \in b^V(p,r)$ das Differential $(Df)_q:V \to W$ injektiv, somit ein Isomorphismus, da ${\rm Dim}\, V = {\rm Dim}\, W$. Es folgt nach 2.1, dass $f(b^V(p,r))$ eine offene Teilmenge in $W$ ist. Somit ist die Einschränkung $g:b^V(p,r) \to f(b^V(p,r))$ bijektiv und auch differenzierbar.

Es bleibt zu zeigen, dass die Umkehrabbildung $g^{-1}:f(b^V(p,r)) \to b^V(p,r)$ differenzierbar ist. Dazu, sei $w \in f(b^V(p,r))$. Sei $u:=g^{-1}(w) \in b^V(p,r)$. Für $h \in W$ mit $w+h \in f(b^V(p,r))$ setzen wir eine Dreigliedentwicklung an der Stelle $w$ für $g^{-1}$ an:

$$g^{-1}(w+h)=g^{-1}(w)+((Df)_u)^{-1}(h)+R_{g^{-1}}(w,h)=$$

$$u+((Df)_u)^{-1}(h)+R_{g^{-1}}(w,h).$$

Zu zeigen ist, dass der so definierte Restterm $R_{g^{-1}}(w,h)$ relativ klein zu $h$ ist. Sei $\lambda_u$ die Ko-Norm und $\Lambda_u$ die Operatornorm von $(Df)_u$. Nun erhält man mit der Dreigliedentwicklung von $g$ an der Stelle $u=g^{-1}(w)$:

$$w+h=g(g^{-1}(w+h))=g(g^{-1}(w)+((Df)_u)^{-1}(h)+R_{g^{-1}}(w,h))=$$

$$g(g^{-1}(w))+(Df)_u((Df)_u^{-1}(h))+(Df)_u(R_{g^{-1}}(w,h))+R_g(u,k(h))=$$

$$w+h+(Df)_u(R_{g^{-1}}(w,h))+R_g(u,k(h)),$$

wobei wir

$$k(h):=((Df)_u)^{-1}(h)+R_{g^{-1}}(w,h))$$

setzen. Es folgt

$$R_{g^{-1}}(w,h)=(Df)_u^{-1}(R_g(u,k(h))).$$

Es gilt $f(u+k(h))=g(u+k(h))=g(u)+h=f(u)+h$. Da die Einschränkung von $f$ auf $B^V(u,r)$ eine Lipschitz-Einbettung ist, folgt mit 1.4

$$\vert\vert k(h)\vert\vert _V \leq ({\lambda_u \over 2}+\Lambda_u)\vert\vert h\vert\vert _W.$$

Da $g$ differenzierbar ist, ist das Restglied $R_g(u,k)$ relativ klein zu $k$. Für jedes $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$, so dass

$$\vert\vert R_g(u,k)\vert\vert _W \leq {{\epsilon \lambda_u} \over {{\lambda_u \over 2}+\Lambda}} \vert\vert k\vert\vert _V$$

gilt, sobald $k\in V, \vert\vert k\vert\vert _V \leq \delta$ zutrifft. Dann gilt für

$$h\in W, \vert\vert h\vert\vert _W \leq {\delta \over {{\lambda_u \over 2}+\Lambda_u}}$$

die Abschätzung

$$\vert\vert R_{g^{-1}}(w,h)\vert\vert _V =$$

$$\vert\vert(Df)_u^{-1}(R_g(u,k(h)))\vert\vert _V \leq$$

$${1 \over {\lambda_u}} \lambda_u \epsilon \vert\vert k(h)\vert\vert _V\,,$$

womit gezeigt ist, dass $R_{g^{-1}}(w,h)$ relativ klein zu $h$ ist. Die Umkehrabbildung $g^{-1}$ ist somit differenzierbar und Es folgt, dass die hier oben angesetzte Dreigliedentwicklung für $g^{-1}$ zulässig ist und dass die Umkehrabbildung $g^{-1}$ somit differenzierbar ist.

Aus dieser Dreigliedentwicklung lässt sich auch das Differential $(Dg^{-1})_w$ der Umkehrabbildung $g^{-1}$ an der Stelle $w$ ablesen. Man sieht:

$$(D(g^{-1}))_w=(Dg)_{g^{-1}(w)}^{-1}.$$

Aufgabe 1. Seien $S:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid x(p)>0 \,\hbox{\rm und}\, y(p) >0 \}$ und $\Sigma:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \mid x(p)>0 \,\hbox{\rm oder}\, y(p) >0 \}$. Zeige, dass es eine differenzierbare Kurve $\gamma:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit $\gamma({\fam\msbfam\tenmsb R}) \subset \Sigma \cup \{0\}$, $\gamma(0)=0$ und ${d \over {dt}}\gamma(0) \not= 0$ gibt. Zeige, dass es keine differenzierbare Kurve $\gamma:{\fam\msbfam\tenmsb R}\to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit $\gamma({\fam\msbfam\tenmsb R}) \subset S \cup \{0\}$, $\gamma(0)=0$ und ${d \over {dt}}\gamma(0) \not= 0$ gibt.

Aufgabe 2. Zeige, dass es kein Diffeomorphismus $f:{\fam\msbfam\tenmsb R}^2 \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^2$ mit $f(S)=\Sigma$ geben kann.

Aufgabe 3. Konstuire einen Diffeomorphismus $f:S \to \Sigma$.

Aufgabe 4.  Sei $U:=\{p \in {\fam\msbfam\tenmsb R}^n \mid x_1(p) < x_2(p) < \cdots < x_n(p) \}$. Sei $f:U \to {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ die Abbildung $f=(f_1,f_2, \cdots ,f_n)$, deren $k$-te Koordinatenfunktion $f_i:U \to R, 1 \leq k \leq n,$ durch

$$f_k(p)=(-1)^k \sum_{i_1<i_2< \cdots <i_k}x_{i_1}(p)x_{i_2}(p) \cdots x_{i_k}(p)$$

gegeben ist. Kontrolliere die Identität:

$$(X-x_1(p))(X-x_2(p)) \cdots (X-x_n(p))=X^n+f_1(p)X^{n-1}+ \cdots +f_n(p).$$

Zeige, dass $f(U)$ eine offene Teilmenge in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ ist. Zeige, dass die Menge $M$ der Polynome $n$-ten Grades mit Hauptkoeffizient $1$ und mit reellen Koeffizienten und $n$ verschiedenen reellen Nullstellen eine offene Teilmenge im Raum der Polynome $n$-ten Grades mit Hauptkoeffizient $1$ und mit reellen Koeffizienten ist.

Aufgabe 6. Zeige für $P(X) \in M$, dass die Nullstellen des Polynoms $P(X)$ differenzierbar von den Koeffizienten des Polynoms $P(X)$ abhängen.

Aufgabe 7. Ist $f$ ein Diffeomorphismus von $U$ nach $M$?

Aufgabe 8. Ist $f$ eine Lipschitz-Einbettung von $U \subset {\fam\msbfam\tenmsb R}^n$ in ${\fam\msbfam\tenmsb R}^n$?